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By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach artwork der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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5 Wurzeln. Algebraische Gleichungen Wir hatten gesehen, daß die quadratische Gleichung (1) x2 − c = 0 24 Kapitel 1. Grundlagen der Analysis bei beliebig vorgegebenem √ positiven c ∈ Q im allgemeinen nicht durch ein x ∈ Q √ ur jede Primgel¨ ost werden kann, denn 2 und allgemeiner p ist irrational f¨ zahl p ∈ N. Nun zeigen wir, daß Gleichung (1) f¨ ur jeden nichtnegativen reellen Wert von c in R l¨osbar ist. An dieser Stelle benutzen wir ganz wesentlich das Vollst¨ andigkeitsaxiom, denn aus den K¨ orper- und Anordnungsaxiomen allein l¨aßt sich die Existenz der Quadratwurzel von c nicht erschließen.

2. F¨ ur x ≤ 0 ist −x ≥ 0, und somit l¨ aßt sich −x in der Form (3) darstellen. F¨ ur x benutzt man dann die Darstellung (6) x = −Zp . . Z1 Z0 , z1 z2 . . zn . . 3. W¨ ahlt man statt der Grundzahl Zwei“ die Grundzahl Zehn“, so f¨ uhrt ein ” ” analoger Zehntelungsprozeß“ zur u ¨blichen Dezimaldarstellung reeller Zahlen. 8 Dualdarstellung reeller Zahlen. Satz von Bolzano-Weierstraß 41 und erh¨ alt dann die p-adische Darstellung. Die Babylonier haben mit dem Sexagesimalsystem operiert, das auf der Grundzahl Sechzig“ beruht, w¨ahrend die ” Mayas die Grundzahl 20 benutzten.

Zn . . mit Zj , zν ∈ {0, 1} zu. Hierbei ist ausgeschlossen, daß ab einer gewissen Stelle n ∈ N nach dem Komma alle Ziffern gleich 1 sind, denn dann w¨ are ξ einer der Halbierungspunkte“; diese ” werden aber dem rechts angrenzenden Halbierungsintervall zugeschlagen. Um in (2) bzw. (3) doch alle Dualdarstellungen zuzulassen, vereinbaren wir, daß (4) 0, z1 z2 . . zn−2 0111 . . dieselbe Zahl aus (0, 1] darstelle wie (5) 0, z1 z2 . . zn−2 1000 . . , und Entsprechendes gelte in (3). Dann folgt: 40 Kapitel 1.

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